Question

函數(shù)f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)g（x）=bx²-1，若關(guān)于x的方程f（x）=g（x）的解集中含有3個(gè)元素，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)原函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，得導(dǎo)函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，由導(dǎo)函數(shù)在兩區(qū)間內(nèi)的符號(hào)列式求解a的值；
（2）由方程f（x）=g（x）的解集中含有3個(gè)元素，得到得x²（x²-4x+4-b）=0有3個(gè)不相等的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，然后由二次方程的判別式大于0求解b的范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=4x³-12x²+2ax=2x（2x²-6x+a），
又 f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減．
∴在[0，1]上恒有f'（x）≥0，在[1，2]上恒有f'（x）≤0，
令g（x）=2x²-6x+a，
即在[0，1]上恒有g(shù)（x）≥0，在[1，2]上恒有g(shù)（x）≤0，
即

g(1)=a-4=0 g(2)=a-4≤0

，∴a=4．
（2）由f（x）=g（x）的解集中含有3個(gè)元素，得x²（x²-4x+4-b）=0有3個(gè)不相等的實(shí)根．
故x²-4x+4-b=0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)根，∴△=16-4（4-b）＞0，且4-b≠0．
解得：0＜b＜4，或b＞4，
∴b∈（0，4）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查了根的存在性與根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．