Question

若函數f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d．
（1）當a=d=-1，b=c=0時，若函數f（x）的圖象與x軸所有交點的橫坐標的和與積分別為m，n．
（i）求證：f（x）的圖象與x軸恰有兩個交點；
（ii）求證：m²=n-n³．
（2）當a=c，d=1時，設函數f（x）有零點，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：（1）（i）先求出函數的導函數，然后根據導數符號確定函數的單調性，再根據f(

3

4

)＜0，f（-1）＞0，f（2）＞0結合根的存在性定理可證得結論；
（ii）設x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個實根，則f（x）有因式（x-x₁）（x-x₂）=x²-mx+n，且可令f（x）=（x²-mx+n）（x²+px+q），于是有（x²-mx+n）（x²+px+q）=x⁴-x³-1，分別比較該式中常數項和含x³的項的系數，以及含x和x²的項的系數，消去p與q可證得結論；
（2）方程化為x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0，令t=x+

1

x

，方程為t²+at+b-2=0，|t|≥2，即有絕對值不小于2的實根，設g（t）=t²+at+b-2=0（|t|≥2），討論對稱軸與區間[-2，2]的位置關系，然后建立不等關系，解之即可求出所求．

解答：（本題滿分16分）
解：（1）（i）當a=d=-1，b=c=0時，f（x）=x⁴-x³-1
∴f'（x）=4x³-3x²=x²（4x-3），
所以x=

3

4

是使f（x）取到最小值的唯一的值，且在區間(-∞，

3

4

)上，函數f（x）單調遞減；
在區間(

3

4

，+∞)上，函數f（x）單調遞增．
因為f(

3

4

)＜0，f（-1）＞0，f（2）＞0，
所以f（x）的圖象與x軸恰有兩個交點． …（4分）
（ii）設x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個實根，則f（x）有因式（x-x₁）（x-x₂）=x²-mx+n，
且可令f（x）=（x²-mx+n）（x²+px+q）．
于是有（x²-mx+n）（x²+px+q）=x⁴-x³-1．（*）
分別比較（*）式中常數項和含x³的項的系數，得nq=-1，p-m=-1，
解得q=-

1

n

，p=m-1．
所以x⁴-x³-1=(x2-mx+n)[x2+(m-1)x-

1

n

]．①
分別比較①式中含x和x²的項的系數，得

m

n

+n(m-1)=0，…②，
-

1

n

+n-m(m-1)=0，③
②×m+③×n得-n+n³+m²=0，即n-n³=m²．…（10分）
∴m²=n-n³．
（2）方程化為：x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0，
令t=x+

1

x

，方程為t²+at+b-2=0，|t|≥2，即有絕對值不小于2的實根．
設g（t）=t²+at+b-2=0（|t|≥2），
當-

a

2

＜-2，即a＞4時，只需△=a²-4b+8≥0，此時，a²+b²≥16；
當-

a

2

＞2，即a＜-4時，只需△=a²-4b+8≥0，此時，a²+b²≥16；
當-2≤-

a

2

≤2，即-4≤a≤4時，只需（-2）²-2a+b-2≤0或2²+2a+b-2≤0，
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，此時a2+b2≥

4

5

．
∴a²+b²的最小值為

4

5

．…（16分）

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了分類討論的數學思想，屬于難題．