Question

函數(shù)f（x）=x⁴-2ax²，g（x）=1．
（1）求證：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象恒有公共點；
（2）當x∈（0，1]時，若函數(shù)f（x）圖象上任一點處切線斜率均小于1，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f′（x）|＞g（x）的解集為空集，求所有滿足條件的實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）兩個函數(shù)的交點轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)與x軸的交點，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的有實數(shù)解，換元轉(zhuǎn)化為二次方程有非負實數(shù)根，由送別式恒大于0與兩根之積為負得二次方程一定有正根，問題得證．
（2）求導(dǎo)，由題意得導(dǎo)數(shù)恒小于1，分離參數(shù)a，設(shè)另一邊為函數(shù)，求導(dǎo)得導(dǎo)數(shù)恒大于0，函數(shù)在（0，1]上遞增，得最值，求出參數(shù)a的取值范圍；
（3）把函數(shù)解析式代入不等式，考慮反面，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，設(shè)絕對值符號內(nèi)的為F（x），求導(dǎo)，得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，討論函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性，進而求出最值，令最值的絕對值小于等于1，得實數(shù)a的值．

解答：解：（1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）
即證函數(shù)h（x）與x軸有交點，
即證方程x⁴-2ax²-1=0有實根，設(shè)t=x²
即證方程t²-2at-1=0有非負實數(shù)根，
而△=4a²+4＞0，t₁t₂=-1＜0
∴方程t⁴-2at-1=0恒有正根
∴f（x）與g（x）圖象恒有公共點（4分）
（2）f′（x）=4x³-4ax
∵當0＜x≤1時4xa＞4x³-1恒成立
即a＞x2-

1

4x

，設(shè)y=x²-

1

4x

，
則y′=2x+

1

4x2

＞0，
∴y=x²-

1

4x

在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴a＞1-

1

4

=

3

4

∴a的取值范圍為(

3

4

，+∞)（8分）
（3）由題設(shè)知當x∈[0，1]時，|4x³-4ax|≤1恒成立
記F（x）=4x³-4ax
若a≤0則F（1）=4（1-a）≥4不滿足條件
故a＞0而F′(x)=12x2-4a=12(x-

a 3

)(x+

a 3

)
①當

a 3

＜1時，即0＜a＜3時，F(xiàn)（x）在[0，

a 3

]上遞減，在[

a 3 ，1

]上遞增，
于是

F(x)min=F( a 3 ) F(x)max=max{F(0)，F(xiàn)(1)}=max{0，4-4a}

∴

F( a 3 )≥-1 4-4a≤1

，∴

a≤ 3 4 a≥ 3 4

，∴a=

3

4

②當

a 3

≥1時，即a≥3時，F(xiàn)（x）在[0，1]上遞減，
于是

F(x)min=F(1)=4-4a≥-1?a≤ 5 4 F(x)max=F(0)=0≤1

矛盾
綜上所述：a=

3

4

（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，一是當問題從正面不容易解決時，注意從反面進行突破，這是一難點，二是把不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，三是在求最值過程中，需求函數(shù)的單調(diào)性，在求單調(diào)性的過程中，要分類討論，這又是一難點，四把問題最后再轉(zhuǎn)化為求不等式．