Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M為棱CC₁上一點．
（1）若C1M=

3

2

，求異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）是否存在這樣的點M使得BM⊥平面A₁B₁M？若存在，求出C₁M的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）過點M作MN∥C₁D，交D₁D于N，連接A₁N，
則∠A₁MN或其補角就是異面直線A₁M和C₁D₁所成角
在Rt△A₁NM中，AB=1，A₁N=

22+( 3 2 )2

=

5

2

∴tan∠A₁MN=

A1N

MN

=

5

2

由此可得，當C1M=

3

2

時，異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值為

5

2

；
（2）∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，BM⊆平面BB₁C₁C，
∴A₁B₁⊥BM，
因此可得：只要B₁M⊥BM，就有BM⊥平面A₁B₁M．
假設存在M點，使得BM⊥平面A₁B₁M，設C₁M=x
則矩形BB₁C₁C中，B₁M⊥BM，所以∠MB₁C₁=∠MBB₁
∴Rt△B₁MB∽Rt△MB₁C₁，所以

C1M

B1M

=

B1M

B1B

∴B₁M²=B₁B•C₁M，可得4+x²=5x，解之得x=1或4
∴當C₁M的長為1或4時，存在點M使得BM⊥平面A₁B₁M．