Question

如圖，已知在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求證：DB⊥平面B₁BCC₁；
（2）設E是DC上一點，試確定E的位置，使得D₁E∥平面A₁BD，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB∥DC，AD⊥DC，
∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB=AD=1，
∴BD=

2

，
易求BC=

2

，
又∵CD=2，∴BD⊥BC．
又BD⊥BB₁，B₁B∩BC=B，

∴BD⊥平面B₁BCC₁．
（2）DC的中點即為E點．
∵DE∥AB，DE=AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
∴AD∥BE．
又AD∥A₁D₁，∴BE∥A₁D₁，
∴四邊形A₁D₁EB是平行四邊形．∴D₁E∥A₁B．
∵D₁E?平面A₁BD，
∴D₁E∥平面A₁BD．