Question

【題目】【2017南通二模19】已知函數，，其中e為自然對數的底數．

（1）求函數在x1處的切線方程；

（2）若存在，使得成立，其中為常數，

求證：；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）因為，所以，故．

所以函數在x1處的切線方程為，

即．

（2）由已知等式得．

記，則．

假設．

①若，則，所以在上為單調增函數．

又，所以，與矛盾．

②若，記，則．

令，解得．

當時，，在上為單調增函數；

當時，，在上為單調減函數．

所以，所以，

所以在上為單調增函數．

又，所以，與矛盾．

綜合①②，假設不成立，所以．9分

（3）由得．

記，，

則．

①當時，因為，，所以，

所以在上為單調增函數，所以，

故原不等式恒成立．1

②法一：

當時，由（2）知，，

當時，，為單調減函數，

所以，不合題意．

法二：

當時，一方面．

另一方面，，．

所以，使，又在上為單調減函數，

所以當時，，故在上為單調減函數，

所以，不合題意．

綜上，．1