Question

已知圓錐曲線C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數）和定點A（0，

3

），F₁，F₂是此圓錐曲線的左右兩個焦點
（1）求直線AF₂的極坐標方程；
（2）過點F₁且與直線AF₂垂直的直線l交此圓錐曲線于M，N兩點，求||MF₁|-|NF₁||的值．

Answer 1

分析：（1）由圓錐曲線C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數）消去參數θ可得橢圓的方程，利用c=

a2-b2

即可得出F₂．利用點斜式可得直線AF₂的方程，再利用極坐標與直角坐標的互化公式x=ρcosα，y=ρsinα即可得出；
（2）可設此直線的參數方程為

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

，代入橢圓方程整理，再利用參數的幾何意義即弦長公式||MF₁|-|MF₂||=|t₁+t₂|即可得出．

解答：解：（1）由圓錐曲線C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數）消去參數θ可得

x2

4

+

y2

3

=1，
∴c=

4-3

=1，∴F₂（1，0）．
∵A(0，

3

)，∴kAF2=

3 -0

0-1

=-

3

．
∴直線AF₂的方程為y=-

3

x+

3

，
把x=ρcosα，y=ρsinα代入得到ρsinα=-

3

ρcosα+

3

，即ρsin(α+

π

3

)=

3

2

．
（2）∵AF₂的斜率kAF2=-

3

，∴過點F₁且與直線AF₂垂直的直線l的斜率k=

3

3

．
可設此直線的參數方程為

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

，代入橢圓方程整理得13t2-12

3

t-36=0．
∴由弦長公式可得||MF₁|-|NF₁||=|t₁+t₂|=

12 3

13

．

點評：本題綜合考查了橢圓的參數方程、標準方程及其性質、極坐標與直角坐標的互化公式x=ρcosα，y=ρsinα、直線的參數方程及參數的幾何意義和弦長公式等基礎知識與基本方法，屬于難題．