Question

已知圓錐曲線C：

x2

16

+

y2

t2-2t

=1（t≠0且t≠2），其兩個不同的焦點F₁、F₂同在x軸上．
（1）試根據t不同的取值范圍來討論C所表示的圓錐曲線；
（2）試在曲線C上求滿足

PF1

•

PF2

=0的點P的個數，并求出相應的t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）只可能是焦點在x軸上的橢圓或雙曲線，利用橢圓與雙曲線的標準方程即可得出；
（2）滿足

PF1

•

PF2

=0的P在以F₁F₂為直徑的圓周上．再根據t的取值范圍，可得當t∈（0，2）時，曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，可得p的個數．再根據b與c的關系即可得出p點的個數．

解答：解：（1）只可能是焦點在x軸上的橢圓或雙曲線，
當

t2-2t＞0 t2-2t＜16

，即t∈(1-

17

，0)∪(2，1+

17

)時，曲線C為焦點在x軸上的橢圓，
當t²-2t＜0即t∈（0，2）時，曲線C為焦點在x軸上的雙曲線．
（2）滿足

PF1

•

PF2

=0的P在以F₁F₂為直徑的圓周上
當t∈（0，2）時，曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，P有4個
當t∈(1-

17

，0)∪(2，1+

17

)時，曲線C為焦點在x軸上的橢圓
此時a²=16，b²=t²-2t，c²=16-（t²-2t）
若b＜c，即t∈（-2，0）∪（2，4）時，P有4個
若b=c，即t=-2或t=4時，P有2個
若b＞c，即t∈(1-

17

，-2)∪(4，1+

17

)時，P不存在．

點評：熟練掌握橢圓、圓與雙曲線的標準方程及其性質、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．