Question

選修4-4：坐標系與參數方程
已知圓錐曲線C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數）和定點A(0，

3

)，F₁，F₂是此圓錐曲線的左、右焦點．
（1）以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AF₂的極坐標方程；
（2）經過點F₁，且與直線AF₂垂直的直線l交此圓錐曲線于M、N兩點，求||MF₁|-|NF₁||的值．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數中的平方關系消去參數θ即可將圓錐曲線化為普通方程，從而求出其焦點坐標，再利用直線的斜率求得直線l的傾斜角，最后利用直線的參數方程形式即得．
（2）由（1）kAF2=-

3

結合直線的垂直關系救是l的斜率、傾斜角，從而得出l的參數方程，代入橢圓C的方程中，得：13t2-12

3

t-36=0，最后利用參數t的幾何意義即可求得||MF₁|-|NF₁||的值．

解答：解：（1）C：

x2

4

+

y2

3

=1，軌跡為橢圓，其焦點F₁（-1，0），F₂（1，0）
kAF2=-

3

AF2：y=-

3

(x-1)
即AF2：ρsinθ+ρ

3

cosθ=

3

即ρsin(θ+

π

3

)=

3

2

；
（2）由（1）kAF2=-

3

，
∵l⊥AF₂，∴l的斜率為

3

3

，傾斜角為30°，
所以l的參數方程為

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數）
y=

3

3

(x+1)，代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，得
代入橢圓C的方程中，得：13t2-12

3

t-36=0
因為M、N在F₁的異側||MF1|-|NF1||=|t1+t2|=

12 3

13

點評：本小題主要考查簡單曲線的極坐標方程、直線的參數方程、橢圓的參數方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想．屬于基礎題．