Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）討論函數極值點的個數；

（Ⅱ）若函數有兩個極值點，其中且，是否存在整數使得不等式

恒成立？若存在，求整數的值；若不存在，請說明理由.（參考數據： ）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導得，令，討論，結合單調性可得解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 是方程的兩根，所以，可得，令，設（），可得，即，進而得所以，求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）由得， .

①當時，即， ，所以為增函數，沒有極值點.

②當時，即或，由得

若，則，當時， ，即，所以為

增函數，沒有極值點,若，則，當變化時， 與的變化情況如下表：

所以函數有兩個極值點綜上可知：當時， 極值點的個數為；當時， 極值點的個數為

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 是方程的兩根，所以.

令，因為，所以，設（）

因為所以在上為減函數，所以，因為

所以，即.

因為，所以

所以，解得因為，所以，又因為，所以或

所以存在整數或使得不等式恒成立.