Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求證：CB⊥PD；

（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）證明PO⊥平面ABCD得出PO⊥BC，利用勾股定理證明，從而BC⊥平面PBD，于是BC⊥PD；

（2）建立空間坐標系，求出平面PAB和平面PBC的法向量，通過計算法向量的夾角得出二面角的大小．

解：（1）連，交于點，連

由平面，平面.

又

又

又

，

又

（2）由（1）知，以為坐標原點，為軸，為軸，過點與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

由（1）知，則軸.

由平面幾何知識易得，

則

于是，

設平面的法向量為.

則，即，

取，則，則

同理可求得平面的一個向量

于是

分析知二角面的余弦值為.