Question

【題目】如圖，圓錐的展開側面圖是一個半圓，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，為母線的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點、為對稱軸的拋物線的一部分．

（1）證明：圓錐的母線與底面所成的角為；

（2）若圓錐的側面積為，求拋物線焦點到準線的距離．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）

【解析】

（1）設底面圓的半徑為,圓錐的母線,因為圓錐的側面展開圖扇形弧長與圓錐的底面圓的周長相等,列出底面半徑和關系式,即可證明:圓錐的母線與底面所成的角為.

（2）因為圓錐的側面積為,即可求得其母線長.由⑴可知,可得.在平面建立坐標系,以原點,為軸正方向,設拋物線方程,代入即可求得,進而拋物線焦點到準線的距離.

（1）設底面圓的半徑為,圓錐的母線

圓錐的側面展開圖扇形弧長與圓錐的底面圓的周長相等

可得

由題意可知:底面圓

中 故:

圓錐的母線與底面所成的角為

（2） 圓錐的側面積為

可得,故:

可得

中, 為的中點,可得

在平面建立坐標系,以原點,為軸正方向.如圖:

設拋物線方程

代入可得

根據拋物線性質可知, 拋物線焦點到準線的距離為.

拋物線焦點到準線的距離．