Question

已知定點A(－2，－4)，過點A作傾斜角為45 的直線l，交拋物線y2＝2px(p＞0)于B、C兩點，且|BC|＝210．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的拋物線上是否存在點D，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  y2＝2x．  (Ⅱ)   見解析

解析:

(Ⅰ)直線l方程為y＝x－2，將其代入y2＝2px，并整理，得

x2－2(2＋p)x＋4＝0…①，∵p＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0，

設B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1＋x2＝4＋2p，x1·x2＝4，∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k2|x1－x2|，

∴22p2＋4p＝210，解得p＝1，∴拋物線方程y2＝2x．

(Ⅱ)假設在拋物線y2＝2x上存在點D(x3,y3)，使得|DB|＝|DC|成立，

記線段BC中點為E(x0,y0)，則|DB|＝|DC| DE⊥BC kDE＝－1k1＝－1，

當p＝1時，①式成為x2－6x＋4＝0，∴x0＝x1＋x22＝3，y0＝x0－2＝1，

∴點D(x3,y3)應滿足   y23＝2x3y3－1x3－3＝－1，解得  x3＝2y3＝2或  x3＝8y3＝－4．

∴存在點D(2，2)或(8，－4)，使得|DB|＝|DC|成立．