Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在上的最小值；

（2）若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由得，對其求導，解對應的不等式，判斷單調性，即可得出最值；

（2）先對函數求導，得到，根據，判斷函數的單調性，求出最小值，再由導數的方法研究最小值的范圍，即可證明結論成立.

（1）當時，由，得，

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增，∴．

（2）由題意，函數的定義域為，，

令，，則，設，則，

易知在上單調遞增，

∵，∴，，所以存在唯一的，使，

當時，單調遞減，當時，，單調遞增，

又∵，，

∴當時，，即在上無零點，

∴存在唯一的，使，即，

∵，∴，則．

當時，，即，單調遞減；

當時，，即，單調遞增．

∴，．

令，則在上單調遞減，

∵∴，又∵∴，從而．