Question

【題目】甲、乙兩品牌計劃入駐某商場，該商場批準兩個品牌先進場試銷天。兩品牌提供的返利方案如下：甲品牌無固定返利，賣出件以內（含件）的產品，每件產品返利元，超出件的部分每件返利元；乙品牌每天固定返利元，且每賣出一件產品再返利元。經統計，兩家品牌在試銷期間的銷售件數的莖葉圖如下：

（Ⅰ）現從乙品牌試銷的天中隨機抽取天，求這天的銷售量中至少有一天低于的概率.

（Ⅱ）若將頻率視作概率，回答以下問題：

①記甲品牌的日返利額為（單位：元），求的分布列和數學期望；

②商場擬在甲、乙兩品牌中選擇一個長期銷售，如果僅從日返利額的角度考慮，請利用所學的統計學知識為商場作出選擇，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①詳見解析②商場應選擇乙品牌長期銷售，詳見解析

【解析】

（I）直接法：分別計算有天低于和有天低于的件的概率，然后相加，求得所求概率.間接法：用減去抽取的天都不低于件的概率，求得所求至少有一天低于的概率.（II）①先計算出甲品牌的日返利額的所有可能取值，由此求得的分布列并求得數學期望.②計算出乙品牌日返利額的分布列和數學期望，結合①中的數學期望，可知商場應選擇乙品牌長期銷售.

（Ⅰ）設為從乙品牌試銷售的天中抽取天，這天的銷售量中至少有一天低于件的事件，則.

另法：設為從乙品牌試銷售的天中抽取天，這天的銷售量中至少有一天低于件的事件，則為從乙品牌試銷售的天中抽取天，這天的銷售量都不低于件的事件，則.

（Ⅱ）①設甲品牌的日銷售量為隨機變量，則甲品牌的日返利額（單位：元）與的關系為：

.當時，；當時，；當時，；當時，；

故的分布列為

（元）

②設乙品牌的日銷售量為隨機變量，乙品牌的日返利額（單位：元）與的關系為：

，且的分布列為

則（件）

則（元）

因為乙品牌的日平均返利額大于甲品牌的日平均返利額，所以如果僅從日返利額的角度考慮，商場應選擇乙品牌長期銷售.

②另法：乙品牌的日返利額（單位：元）的取值集合為，分布列為

則（元）