Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的零點；

（2）當(dāng)時，求證：在區(qū)間上單調(diào)遞減；

（3）若對任意的正實數(shù)，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）討論，且，，解方程可得零點；

（2）可令，運用單調(diào)性的定義，證得在遞減，可得，即可得到證明；

（3）由題意可得，由絕對值的含義，化簡，得到在的單調(diào)性，即有，運用絕對值不等式的性質(zhì)，可得的最大值，即可得到的范圍．

解：（1）當(dāng)時，的零點為；

當(dāng)且時，由得，

由一元二次方程求根公式得，的零點為；

當(dāng)時，方程中的判別式，故無零點；

（2）證明：當(dāng)時，，可令，

任取，

，

由，可得，，進而，

即，可得在上遞減，

可得時，，

則，

即在區(qū)間上單調(diào)遞減；

（3）對任意的正實數(shù)，總存在，，使得，則，

當(dāng)時，，

則在遞減，在，遞增，

可得，

由于，設(shè)，可得，，

可得，即有，可得，

則．