Question

如圖所示,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,點(diǎn)E、F分別在BC、AD上,EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,設(shè)AD中點(diǎn)為P.

(1)當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí),求證:CP∥平面ABEF;
(2)設(shè)BE=x,問當(dāng)x為何值時(shí),三棱錐ACDF的體積有最大值?并求出這個(gè)最大值.

Answer 1

（1）見解析  （2）當(dāng)x=3時(shí), 有最大值,最大值為3

(1)證明:取AF的中點(diǎn)Q,
連接QE、QP,
則QPDF,
又DF=4,EC=2,且DF∥EC,
所以QPEC,
即四邊形PQEC為平行四邊形,
所以CP∥EQ,
又EQ?平面ABEF,CP?平面ABEF,
故CP∥平面ABEF.
(2)解:因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面EFDC,
平面ABEF∩平面EFDC=EF,
又AF⊥EF,所以AF⊥平面EFDC.
由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.
故=··2·(6-x)·x
=(6x-x²)
=[-(x-3)²+9]
=-(x-3)²+3,
∴當(dāng)x=3時(shí),有最大值,最大值為3.