Question

如圖，在球面上有四個點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求這個球的表面積．

Answer 1

3πa²

如題圖，設過A、B、C三點的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d，在三棱錐PABC中，
∵PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝a，∴AB＝AC＝BC＝a，
且點P在△ABC內的射影是△ABC的中心O′，由正弦定理，得＝2r，∴r＝a.
又根據球的截面圓性質，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，
∴P、O、O′三點共線，球的半徑R＝.又PO′＝＝＝a，
∴OO′＝R－a＝d＝，∴＝R²－，解得R＝a.
∴S_球＝4πR²＝3πa².