Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,首項(xiàng)為a₁,且,a_n,S_n成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;
(2)若=,設(shè)c_n=,求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n.

Answer 1

(1) a_n=2^n-2      (2) T_n=

解:(1)由題意知2a_n=S_n+,a_n>0,
當(dāng)n=1時(shí),2a₁=a₁+,∴a₁=.
當(dāng)n≥2時(shí),S_n=2a_n-,
S_n-1=2a_n-1-,
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1,
整理得=2,
∴數(shù)列{a_n}是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
a_n=a₁·2^n-1=×2^n-1=2^n-2.
(2)==2^2n-4,
∴b_n=4-2n,
∴c_n==,
即c_n=.
則T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n,
即T_n=+++…+.
∴T_n=+++…+,
則T_n=4+++…+-.
T_n=8-(++…+)+
=8-+
=8-8(1-)+
=+
=+=.
即T_n=.