Question

【題目】已知函數 .
（1）若 ，求函數 的極小值；
（2）設函數 ，求函數 的單調區間；
（3）若在區間 上存在一點 ，使得 成立，求 的取值范圍，（ ）

Answer 1

【答案】
（1）解： 的定義域為 ．

當 時， ， ．

由 ，解得 .

當 時， ， 單調遞減；

當 時， ， 單調遞增；

所以當 時，函數 取得極小值，極小值為

（2）解： ，其定義域為 ．

又 ．

①當 ，即 時，在 上 ，所以，函數 在 上單調遞增.

②當 ，即 時，在 上 ，在 上 ，

所以 在 上單調遞減，在 上單調遞增；

綜上所述：當 時， 的遞減區間為 ；遞增區間為 ．

當 時， 只有遞增區間為 ．

（3）解：若在 上存在一點 ，使得 成立，即在 上存在一點 ，使得 ．

則函數 在 上的最小值小于零．

①當 ，即 時，由（2）可知 在 上單調遞減．

故 在 上的最小值為 ，由 ，可得 ．

因為 ．所以 ；

②當 ，即 時，由（2）可知 在 上單調遞增．

故 在 上最小值為 ，由 ，

可得 （滿足 ）；

③當 ，即 時，由（2）可知可得 在 上最小值為

．

因為 ，所以， ．

，即 不滿足題意，舍去．

綜上所述得 ，或 ．

實數 的取值范圍為 ．

【解析】（1）先求出函數的定義域，求導；（2）利用導數h（x）討論h（x）的單調性；（3）若在 [ 1 , e ] 上存在一點 x 0 ，使得f（x0）g（x0） 成立，即在 [ 1 , e ] 上存在一點 x0，使得 h（x0）< 0，根據（2）求出h（x）的最小值，并使h（x）的最小值小于零.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．