Question

【題目】如圖，圓與軸交于、兩點，動直線（）與軸、軸分別交于點、，與圓交于、兩點（點縱坐標大于點縱坐標）.

（1）若，點與點重合，求點的坐標；

（2）若，，求直線將圓分成的劣弧與優弧之比；

（3）若，設直線、的斜率分別為、，是否存在實數使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

由題意得到，，

（1）由得，根據點與點重合，得到在直線上，求出，聯立直線與圓的方程，根據韋達定理，即可求出結果；

（2）取中點為，連結，由題意得到，推出，從而求出直線，再求出，進而可求出結果；

（2）設、，聯立直線與圓的方程，得到，再由題意得，推出，求出或，根據得到，進而可求出結果.

因為圓與軸交于、兩點，所以，，

（1）由得，又點與點重合，直線與圓交于、兩點，

所以在直線上，

因此，所以，

由得，所以，因此，

所以，即；

（2）取中點為，連結，因為，所以為中點，

所以，因此，

所以直線的斜率為，由得：，

由點到直線距離公式可得：，又，

所以，故，所以，

因此劣弧的長度為：，

又圓的周長為：，

所以直線將圓分成的劣弧與優弧之比為.

（3）設、，因為，所以，代入圓可得：

，整理得：，

所以，

又、，所以，

又，，

所以，

即，即，

整理得：，解得或，

又，，所以，

即，即，

所以，解得，所以.