Question

【題目】已知函數.

（1）試討論的單調性；

（2）當函數有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求得，然后對與的大小關系進行分類討論，分析導數的符號變化，可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；

（2）由題意可知，可得出函數的兩個極值分別為、，由題意得出，由此得出，令，由題意得，進而可得出實數的值.

（1），.

當時，，此時，函數在上單調遞增；

當時，令，得，令，得或.

此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和；

當時，令，得，令，得或.

此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和.

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為；

當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和；

當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和；

（2）當時，函數在上單調遞增，至多一個零點，不合乎題意，

所以，，則函數有兩個極值，.

若函數有三個不同的零點，則，即，

由于的取值范圍恰好是，

令，則該函數的三個零點分別為、、.

由，得或；

由，得或；

由，得或.

因此，.