Question

已知定義域為R的函數f(x)=

-2x+n

2x+1+m

是奇函數．
（1）求m、n的值并指出函數y=f（x）在其定義域上的單調性（不要求證明）；
（2）解不等式f（x+2）+f（2x-1）＜0．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0可得n的值，利用f（1）=-f（-1），可得m的值，從而可得函數的解析式，進而可得函數的單調性；
（2）利用函數的單調性與奇偶性，將不等式轉化為具體不等式，從而可得不等式的解集．

解答：解：（1）f（0）=0得f(0)=

-20+n

21+m

，所以n=1，所以f(x)=

-2x+1

2x+1+m

，
由f（1）=-f（-1）得

-21+n

22+m

=-

-2-1+n

20+m

，∴m=2------------------（4分）
由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由上式知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數---------------------------------（6分）
（2）又因f（x）是奇函數，從而不等式f（x+2）+f（2x-1）＜0等價于f（x+2）＜-f（2x-1）=f（1-2x），
因為f（x）是減函數，所以x+2＞1-2x，即x＞-

1

3

，
所以原不等式的解集是{x|x＞-

1

3

}．----（12分）

點評：本題考查函數的單調性與奇偶性，考查解不等式，確定函數的解析式與單調性是解題的關鍵．