Question

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點P（x，y），定義[OP]=|x|+|y|，其中O為坐標(biāo)原點．對于下列結(jié)論：
①符合[OP]=1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2；
②設(shè)點P是直線：

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x+2y-2=0上任意一點，則[OP]min=

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；
③設(shè)點P是直線：y=kx+1（k∈R）上任意一點，若使得[OP]最小的點P有無數(shù)個，則k的值是k=±1；
④設(shè)點P是圓x²+y²=1上任意一點，則[OP]max=

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．
其中正確的結(jié)論序號為

①③④

．

Answer 1

分析：①根據(jù)新定義由[OP]=|x|+|y|=1，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖象，由圖象可知點P的軌跡圍成的圖形為邊長是

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的正方形，求出正方形的面積即可；
②舉一個反例，令y=0，求出相應(yīng)的x，根據(jù)新定義求出[OP]=|x|+|y|，即可得到[OP]的最小值為1是假命題；
③根據(jù)|x|+|y|大于等于|x+y|或|x-y|，把y=kx+b代入即可得到，當(dāng)[OP]最小的點P有無數(shù)個時，k等于1或-1；而k等于1或-1推不出[OP]最小的點P有無數(shù)個，所以得到k=±1是“使[OP]最小的點P有無數(shù)個”的必要不充分條件．

解答：解：∵[OP]=|x|+|y|，
∴當(dāng)[OP]=1，點P的軌跡如圖所示：其面積為2，故①正確；
若點P是直線：

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x+2y-2=0上任意一點，②當(dāng)P（

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，0）時，[OP]=|x|+|y|=

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＜1，所以[OP]的最小值不為1，故②錯誤；
③因為|x|+|y|≥|x+y|=|（k+1）x+b|，當(dāng)k=-1時，|x|+|y|≥|b|，滿足題意；
而|x|+|y|≥|x-y|=|（k-1）x-b|，當(dāng)k=1時，|x|+|y|≥|b|，滿足題意，故③正確；
④設(shè)點P是圓x²+y²=1上任意一點，可設(shè)x=sinx，y=cosx，則[OP]=|sinx|+|cosx|∈[1，

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]，故④正確
故答案為：①③④

點評：此題考查學(xué)生理解及運用新定義的能力，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．