Question

橢圓的一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據題意，作出示意圖，可得△ABF₂為等邊三角形，即|OF₂|=

3

2

|AB|，可得c=

3

b，由此結合b²=a²-c²即可解出橢圓的離心率為

3

2

．

解答：解：設橢圓的焦點分別為F₁、F₂，上頂點為B，下頂點為A，如圖所示
∵一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，即△ABF₂為等邊三角形
∴|OF₂|=

3

2

|AB|，可得c=

3

b
平方得c²=3b²=3（a²-c²），所以3a²=4c²，
可得e²=

c2

a2

=

3

4

，得e=

3

2

故答案為：

3

2

點評：本題給出橢圓的一個焦點與短軸構成正三角形，求橢圓的離心率，著重考查了正三角形的性質、橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．