【題目】在四棱錐
中，底面
為平行四邊形，平面
平面，
是邊長為4的等邊三角形，
，
是
的中點.
（1）求證：
；
（2）若直線與平面
所成角的正弦值為
，求平面 與平面
所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見證明；(2) 
【解析】
（1）由面面垂直的性質可得
平面
.可得
，
，結合
得
平面
.由
，可得
，得到
平面
，從而可得結果；（2）根據直線
與平面所成角的正弦值為
,可求得
， 
，以
，
，
所在的直線分別為
，
，
軸，建立空間直角坐標系，利用向量垂直數量積為零列方程求出平面
的一個法向量，結合平面的一個法向量為
，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.
（1）因為
是等邊三角形，
是
的中點，
所以
.
又平面
平面，平面
平面
，
平面，
所以平面.
所以，
又因為，
，
所以平面.所以.
又因為
，所以.
又
且，平面，所以平面.
所以
.
（2）
由（1）得平面.
所以
就是直線與平面所成角.
因為直線與平面所成角的正弦值為，即
，所以
.
所以
，解得.則
.
由（1）得，，兩兩垂直，所以以為原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則點
，
，
，
，
所以
，
.
令平面
的法向量為
，則
由
得
解得
令
，可得平面的一個法向量為
；
易知平面的一個法向量為，
設平面與平面所成的銳二面角的大小為
，則
.
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
金博士一點全通系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱柱
中，側棱
底面
，
平面
，
，
，
，
，
為棱
的中點.
（1）證明：
；
（2）求二面角
的平面角的正弦值；
（3）設點
在線段
上，且直線
與平面
所成角的正弦值為
，求線段的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠的檢驗員為了檢測生產線上生產零件的情況，從產品中隨機抽取了
個進行測量，根據所測量的數據畫出頻率分布直方圖如下：
如果：尺寸數據在
內的零件為合格品，頻率作為概率.
(1)從產品中隨機抽取
件，合格品的個數為
，求的分布列與期望：
(2)為了提高產品合格率，現提出
，
兩種不同的改進方案進行試驗，若按方案進行試驗后，隨機抽取
件產品，不合格個數的期望是
：若按方案試驗后，抽取
件產品，不合格個數的期望是，你會選擇哪個改進方案?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“微信搶紅包”自2015年以來異常火爆，在某個微信群某次進行的搶紅包活動中，若所發紅包的總金額為10元，被隨機分配為1元，2.5元，3元，3.5元，共4份，供甲、乙等4人搶，每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于6元的概率是__________.
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