Question

已知橢圓C₁：

x2

4

+y²=1，橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率．
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C₁和C₂上，

OB

=2

OA

，求直線AB的方程．

Answer 1

（1）橢圓C1：

x2

4

+y2=1的長軸長為4，離心率為e=

c

a

=

3

2

∵橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率
∴橢圓C₂的焦點在y軸上，2b=4，為e=

c

a

=

3

2

∴b=2，a=4
∴橢圓C₂的方程為

y2

16

+

x2

4

=1；
（2）設A，B的坐標分別為（x_A，y_A），（x_B，y_B），
∵

OB

=2

OA

∴O，A，B三點共線，且點A，B不在y軸上
∴設AB的方程為y=kx
將y=kx代入

x2

4

+y2=1，消元可得（1+4k²）x²=4，∴xA2=

4

1+4k2

將y=kx代入

y2

16

+

x2

4

=1，消元可得（4+k²）x²=16，∴xB2=

16

4+k2

∵

OB

=2

OA

，∴xB2=4xA2，
∴

16

4+k2

=

16

1+4k2

，解得k=±1，
∴AB的方程為y=±x