Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長為4，若點P是橢圓C上任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點，記直線PM、PN的斜率分別為K_PM、K_PN，當KPM•KPN=-

1

4

時，則橢圓方程為（　　）

A． x2 16 + y2 4 =1

B． x2 4 + y2 2 =1

C．x2+ y2 4 =1

D． x2 4 +y2=1

Answer 1

由長軸長為4得2a=4，解得a=2，
設P（x₀，y₀），直線l方程為y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），
則K_PM=

y0-kx1

x0-x1

，K_PN=

y0+kx1

x0+x1

，
由KPM•KPN=-

1

4

得，

y0-kx1

x0-x1

•

y0+kx1

x0+x1

=-

1

4

，即

y02-k2x12

x02-x12

=-

1

4

，
所以4y02=（4k²+1）x12-x02①，
又P在橢圓上，所以

x02

4

+

y02

b2

=1，即4y02=4b2-b2x02，代入①式得4b²-b2x02=（4k²+1）x12-x02，
所以4b²=（4k²+1）x12+（b²-1）x02，
因為點P為橢圓上任意一點，所以該式恒成立與x₀無關，
所以b²-1=0，解得b=1，
所以所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
故選D．