Question

設點F(0，

3

2

)，動圓P經過點F且和直線y=-

3

2

相切．記動圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）過點F作互相垂直的直線l₁，l₂，分別交曲線W于A，B和C，D．求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）過點P作PN垂直直線y=-

3

2

于點N．
依題意得|PF|=|PN|，
所以動點P的軌跡為是以F(0，

3

2

)為焦點，直線y=-

3

2

為準線的拋物線，
即曲線W的方程是x²=6y
（Ⅱ）依題意，直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，
設直線l₁的方程為y=kx+

3

2

，
由l₁⊥l₂得l₂的方程為y=-

1

k

x+

3

2

．
將y=kx+

3

2

代入x²=6y，化簡得x²-6kx-9=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=6(k2+1)，
同理可得|CD|=6(

1

k2

+1)．
∴四邊形ACBD的面積S=

1

2

|AB|•|CD|=18(k2+1)(

1

k2

+1)=18(k2+

1

k2

+2)≥72，
當且僅當k2=

1

k2

，即k=±1時，S_min=72．
故四邊形ACBD面積的最小值是72．