Question

探究函數f（x）=2x+

8

x

-3，x∈（0，+∞）上的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	14	7	5.34	5.11	5.01	5	5.01	5.04	5.08	5.67	7	8.6	12.14	…

（1）觀察表中y值隨x值變化趨勢特點，請你直接寫出函數f（x）=2x+

8

x

-3，x∈（0，+∞）的單調區間，并指出當x取何值時函數的最小值為多少；
（2）用單調性定義證明函數f（x）=2x+

8

x

-3在（0，2）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）根據表格數據的變化，確定函數的單調區間和函數的最小值點．
（2）利單調性的定義證明函數的單調性．

解答：解（1）由表中可知f（x）在 （0，2]為減函數，[2，+∞）為增函數．
并且當x=2時 f（x）min=5．
（2）證明：設0＜x₁＜x₂＜2，
∵f(x1)-f(x2)=2x1+

8

x1

-(2x2+

8

x2

)=2(x1-x2)+

8(x2-x1)

x1x2

=

2(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，2）為減函數．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷，利用單調性的定義是解決函數單調性的基本方法．