Question

對于函數f(x)=

1

ax-1

+

1

2

(a＞0，且a≠1)
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）探究函數f（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明；
（3）當2＜a＜4時，求函數f（x）在[-3，-1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的定義域看是否關于原點對稱，若對稱，再依據f（-x）與f（x）的關系作出判斷．
（2）先設0＜x₁＜x₂，再比較f（x₁）與f（x₂）的大小關系，依據定義作出判斷，其間要對a進行討論．
（3）本題可利用（1），（2）問的結論求出．

解答：解：（1）由a^x-1≠0，得x≠0，∴定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱．
∵f(x)=

2+ax-1

2(ax-1)

=

ax+1

2(ax-1)

，f(-x)=

a-x+1

2(a-x-1)

=

1+ax

2(1-ax)

=-

ax+1

2(ax-1)

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

1

ax1-1

-

1

ax2-1

=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

，
①當0＜a＜1時，ax2＜ax1＜a0=1，∴ax2-ax1＜0，ax1-1＜0，ax2-1＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）單調遞增；
②當a＞1時，ax2＞ax1＞a0=1，∴ax2-ax1＞0，ax1-1＞0，ax2-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）單調遞減．
綜上，當0＜a＜1時，f（x）在（0，+∞）為增函數；當a＞1時，f（x）在（0，+∞）為減函數．
（3）由（2）知：當2＜a＜4時，函數f（x）在[1，3]上是減函數，由（1）知：f（x）為奇函數，所以f（x）在[-3，-1]上也為減函數，則

當x=-3時，f(x)max=f(-3)=-f(3)=- 1 a3-1 - 1 2 =- a3+1 2(a3-1) 當x=-1時，f(x)min=f(-1)=-f(1)=- 1 a-1 - 1 2 =- a+1 2(a-1)

．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性，利用定義是解決該類問題的常用辦法．