Question

在直角坐標系上取兩個定點,再取兩個動點,且.
（Ⅰ）求直線與交點的軌跡的方程；
（Ⅱ）已知點()是軌跡上的定點，是軌跡上的兩個動點，如果直線的斜率與直線的斜率滿足，試探究直線的斜率是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是，說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）軌跡M的方程為（）
（Ⅱ）直線EF的斜率為定值，其值為

本試題主要考查了直線與直線的位置關系，以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。(1) 依題意知直線的方程為：,直線的方程為：,利用交軌法得到軌跡方程的求解。
(2)設出直線方程與橢圓方程聯立，運用韋達定理，和斜率公示得到結論。
（Ⅰ）依題意知直線的方程為：     ①……………2分
直線的方程為：       ②…………………3分
設是直線與交點，①×②得
由　　整理得            …………………4分
∵不與原點重合　∴點不在軌跡M上…………………5分
∴軌跡M的方程為（）…………………6分
（Ⅱ）∵點()在軌跡M上　∴解得，即點A的坐標為
設，則直線AE方程為：，代入并整理得
…………………9分
設,,  ∵點在軌跡M上，
∴   ③,      ④………………11分
又得，將③、④式中的代換成，可得
，…………………………12分
∴直線EF的斜率…………………13分
∵
∴
即直線EF的斜率為定值，其值為