Question

【題目】設函數， ．

（Ⅰ）若曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，求， 的值；

（Ⅱ）當時，若函數在區間內恰有兩個零點，求的取值范圍；

（Ⅲ）當時，求函數在區間上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）， ．（2）（3）見解析

【解析】【試題分析】（１）借助導數的幾何意義建立方程組求解；（２）依據題設條件借助到數與函數的單調性之間的關系分析求解；（３）借助題設條件運用分類整合思想進行分析求解：

（Ⅰ）， ．

因為曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，所以，且，即，且，解得， ．

（Ⅱ）記,當時， ，

，令，得， ，

當變化時， ， 的變化情況如表：

所以函數的單調增區間為， ；單調減區間為．

故在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，

從而函數在區間內恰有兩個零點，當且僅當解得，

所以的取值范圍是．

（Ⅲ）記，當時， ，

由（Ⅱ）的單調增區間為， ；單調減區間為．

①當時，即時， 在區間上單調遞增，

所以在區間上的最大值為

；

②當且，即時， 在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以在區間上的最大值為；

當且，即時， 且，所以在區間上的最大值為；

③當時， ， 在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以在區間上的最大值為與中的較大者，

由知，當時， ，所以在區間上的最大值為；

④當時， 在區間上單調遞增，所以在區間上的最大值為．