Question

【題目】已知左、右焦點分別為的橢圓與直線相交于兩點，使得四邊形為面積等于的矩形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓上一動點（不在軸上）作圓的兩條切線，切點分別為，直線與橢圓交于兩點， 為坐標原點，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）,

【解析】試題分析：（1）由矩形為面積等于可得，故橢圓方程可化為，又由題意可得,代入橢圓方程可解得，從而可得橢圓的方程；（2）設(shè)，根據(jù)相交兩圓的公共弦所在直線方程的求法得到直線的方程為，用代數(shù)方法求出弦長，從而可得的面積，最后根據(jù)函數(shù)的知識求范圍。

試題解析：

（1）∵四邊形為面積等于的矩形，

∴，故，

∴橢圓方程化為，且點，

∵點A在橢圓上，

∴，

整理得，

解得。

∴橢圓的方程為；

（2）設(shè)，則以線段為直徑的圓的方程為

，

又圓的方程為，

兩式相減得直線的方程為.

由消去y整理得

∵直線與橢圓交于兩點，

∴，

設(shè)，

則

又原點到直線CD的距離為，

∴

設(shè)，

∵，

∴

又在上單調(diào)遞增，

∴，

所以的面積的取值范圍為.