Question

【題目】已知一曲線C是與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離比為 的點的軌跡．
（1）求曲線C的方程，并指出曲線類型；
（2）過（﹣2，2）的直線l與曲線C相交于M，N，且|MN|=2 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（x，y）是曲線上任意的一點，點M在曲線上的條件是 ．

由兩點間距離公式，上式用坐標表示為 ，

整理得：x2+y2+2x﹣3=0，（x+1）2+y2=4

曲線C是以（﹣1，0）為圓心，以2為半徑的圓．

（2）解：當直線l斜率不存在時， ，∴x=﹣2

當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y﹣2=k（x+2），即kx﹣y+2k+2=0，

設圓心到此直線的距離為 ，∴ ，

所以直線l的方程： ，

直線l的方程：∴x=﹣2或3x+4y﹣2=0．

【解析】（1）設M（x，y）是曲線上任意的一點，點M在曲線上的條件是 ，由兩點間距離公式，轉化求解軌跡方程即可．（2）當直線l斜率不存在時， ，求出x．當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y﹣2=k（x+2），即kx﹣y+2k+2=0，求出圓心到此直線的距離為 ，求出k，即可得到所求的直線l的方程．