Question

【題目】已知函數 是偶函數，g（x）=t2x+4，
（1）求a的值；
（2）當t=﹣2時，求f（x）＜g（x）的解集；
（3）若函數f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）是偶函數，得f（x）=f（﹣x），即 ，

化簡得22ax=4x，故a=1

（2）解：f（x）＜g（x）即 ，亦即34x﹣42x+1＜0，

所以 ，即 ，

所以不等式f（x）＜g（x）的解集為

（3）解：因為函數f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，

所以f（x）＞g（x），即 ，得 ，

∵ ，∴t＜﹣3；

故實數t的取值范圍為：t＜﹣3

【解析】（1）由偶函數的定義知f（x）=f（﹣x），化簡即可求得a值；（2）對f（x）＜g（x）進行等價變形可化為關于2x的二次不等式，解得2x的范圍，進而可得x的范圍；（3）函數f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，等價于f（x）＞g（x）恒成立，分離出t后轉化為求函數的最值解決；
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的性質和復合函數單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”才能正確解答此題．