Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)三種情況，討論的單調(diào)性.

（2）由題可知在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值，對分成兩種進(jìn)行分類討論，根據(jù)在上恒成立，求得的取值范圍.

（1），

當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）由題可知在上恒成立，

令，則，

令，則，

所以在上為減函數(shù)，．

當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，

則，所以，即，得．

當(dāng)時(shí)，令，若，則，

所以，所以，

又，所以在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為，

在上，，即單調(diào)遞增，在上，，即單調(diào)遞減，則的最大值為，

所以恒成立．

由，得，則．

因?yàn)?/span>，所以，由，得．

記，則，

所以在上是減函數(shù)，故．

綜上，的取值范圍為．