Question

【題目】已知函數．

（1）若函數只有一個零點，求；

（2）在（1）的條件下，當時，有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）求得導數，把函數只有一個零點，轉化為存在唯一零點，只需，設，利用導數求得函數單調性，結合，求得，代入即可求解；

（2）轉化為成立，令，利用導數求得函數的單調性與最大值，即可求解．

（1）由題意，函數，則，

當時，，當時，，

所以存在滿足，即，即，

令，可得；令，則，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以存在唯一零點，只需，

由，

設，則，

所以函數在上單調遞減，且，即，

將代入，即．

（2）由成立，即，

即成立，

令，則，

只需．

令，即，解得或；

令，即，解得，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

又由，可得，

所以，所以．