Question

【題目】【2017福建三明5月質檢】已知函數，．

（Ⅰ）當時，求證：過點有三條直線與曲線相切；

（Ⅱ）當時，，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】

解法一：（Ⅰ）當時，，

設直線與曲線相切，其切點為，

則曲線在點處的切線方程為：，

因為切線過點，所以，

即，

∵，∴，

設，

∵，，，

∴在三個區間上至少各有一個根

又因為一元三次方程至多有三個根，所以方程恰有三個根，

故過點有三條直線與曲線相切．

（Ⅱ）∵當時，，即當時，

∴當時，，

設，則，

設，則．

（1）當時，∵，∴，從而（當且僅當時，等號成立）

∴在上單調遞增，

又∵，∴當時，，從而當時，，

∴在上單調遞減，又∵，

從而當時，，即

于是當時，．

（2）當時，令，得，∴，

故當時，，

∴在上單調遞減，

又∵，∴當時，，

從而當時，，

∴在上單調遞增，又∵，

從而當時，，即

于是當時，，

綜合得的取值范圍為．

解法二：（Ⅰ）當時，，

，

設直線與曲線相切，其切點為，

則曲線在點處的切線方程為，

因為切線過點，所以，

即，

∵，∴

設，則，令得

當變化時，，變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴恰有三個根，

故過點有三條直線與曲線相切．

（Ⅱ）同解法一．