Question

已知f （x）、g（x）都是定義在R上的函數，如果存在實數m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么稱h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的一個函數．設f （x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R），l（x）=2x²+3x-1，h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的一個二次函數．
（Ⅰ）設a=1，b=2，若h （x）為偶函數，求；
（Ⅱ）設b＞0，若h （x）同時也是g（x）、l（x）在R上生成的一個函數，求a+b的最小值；
（Ⅲ）試判斷h（x）能否為任意的一個二次函數，并證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）解：設h（x）=mf（x）+ng（x），則h（x）=m（x²+x）+n（x+2）=mx²+（m+n）x+2n（m≠0），
因為h（x）為一個二次函數，且為偶函數，
所以二次函數h（x）的對稱軸為y軸，即，
所以n=-m，則h（x）=mx²-2m，
則；（3分）
（Ⅱ）解：由題意，設h（x）=mf（x）+ng（x）=mx²+（am+n）x+bn（m，n∈R，且m≠0）
由h（x）同時也是g（x）、l（x）在R上生成的一個函數，
知存在m₀，n₀使得h（x）=m₀g（x）+n₀l（x）=2n₀x²+（m₀+3n₀）x+（bm₀-n₀），
所以函數h（x）=mx²+（am+n）x+bn=2n₀x²+（m₀+3n₀）x+（bm₀-n₀），
則，（5分）
消去m₀，n₀，得，
因為m≠0，所以，（7分）
因為b＞0，
所以（當且僅當時取等號），
故a+b的最小值為．（9分）
（Ⅲ）結論：函數h（x）不能為任意的一個二次函數．
以下給出證明過程．
證明：假設函數h（x）能為任意的一個二次函數，
那么存在m₁，n₁使得h（x）為二次函數y=x²，記為h₁（x）=x²，
即h₁（x）=m₁f（x）+n₁g（x）=x²；①
同理，存在m₂，n₂使得h（x）為二次函數y=x²+1，記為h₂（x）=x²+1，
即h₂（x）=m₂f（x）+n₂g（x）=x²+1．②
由②-①，得函數h₂（x）-h₁（x）=（m₂-m₁）f（x）+（n₂-n₁）g（x）=1，
令m₃=m₂-m₁，n₃=n₂-n₁，化簡得m₃（x²+ax）+n₃（x+b）=1對x∈R恒成立，
即m₃x²+（m₃a+n₃）x+n₃b=1對x∈R恒成立，
所以，即，
顯然，n₃b=0×b=0與n₃b=1矛盾，
所以，假設是錯誤的，
故函數h（x）不能為任意的一個二次函數．（14分）
注：第（Ⅲ）問還可以舉其他反例．如h₁（x）=2x²，h₂（x）=2x²+1，
分析：（I）用待定系數法構造出二次函數，根據其性質研究參數的值或關系，進而求出；
（II）根據題意用兩種方式構造出h（x），因為是同一個函數，所以兩者的同次項的系數相等，故可以建立相應參數的方程組，從此方程組中構造出關于a，b的函數關系來，再用求最值的方法求值．
（III）做此題時要注意格式，先給出答案，再進行證明，此類題條件少，屬開放型題，直接證明外延太廣，無法證明，所以一般采取反證法．假設命題的對立面成立，然后推出矛盾來，說明假設不成立，其對立面即原來的命題是成立的．
點評：考查對于抽象型的函數進行邏輯推理與分析的能力，本題難度較大，且解題方法較單一，屬能力型的題目，對答題者數學的綜合素養要求較高．