Question

如圖，邊長為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點，AF=3．

（I）求證：DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDFE;
（Ⅲ）在線段FE上是否存在一點P，使得AP⊥MN? 若存在，求出FP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）存在，

試題分析：（I）由面面垂直的性質定理可直接證得。（Ⅱ）將轉化為的中點，利用中位線證∥，再根據線面平行的判定定理即可證MN∥平面CDFE。（Ⅲ）假設存在點P使AP⊥MN，由（I）易得所以。（Ⅲ）由逆向思維可知只需證得，因為，即可證得AP⊥MN。由相似三角形的相似比即可求得FP。
試題解析：（I）因為為正方形，所以。
因為平面, ,，所以.
（Ⅱ）連結

因為是的中點，且為矩形，所以也是的中點。因為是的中點，所以∥，因為,所以MN∥平面CDFE。
（Ⅲ）過點作交線段于點,則點即為所求。因為ABCD為正方形，所以∥。因為，所以，因為,所以。因為，且，所以,因為,所以。因為與相似，所以,因為，所以。