Question

已知三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時取極值，且f（-2）=-4．
（1）求函數f（x）的表達式； 
（2）求函數的單調區間和極值；
（3）求函數在區間[-2，5]的最值．

Answer 1

分析：（1）三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時取極值，說明方程f′（x）=0的兩個根為1和-1，求出a與b，再代入f（-2）=-4，求出c值；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，利用導數研究函數的單調性，求出極值；
（3）由（2）已知f（x）的極大值和極小值，把端點值f（-2）和f（5），從而求出最值；

解答：解：（1）∵三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時取極值，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴

f′(1)=0 f′(-1)=0

可得

3+2a+b=0 3-2a+b=0

解得

a=0 b=-3

；
∴f（x）=x³-3x+c，∵f（-2）=-4，可得（-2）3-3×（-2）+c=0，解得c=2，
∴f（x）=x³-3x+2；
（2）∵f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
若f′（x）＞0即x＞1或x＜-1，f（x）為增函數，
若f′（x）＜0即-1＜x＜1，f（x）為減函數，
f（x）在x=-1處取得極大值，在x=1處取得極小值，
f（x）_極大值=f（-1）=-1+3+2=4，f（x）_極小值=f（1）=1-3+2=0；
（3）∵求函數在區間[-2，5]的最值，
已知f（x）_極大值=4，f（x）_極小值=0，
f（-2）=（-2）³-3×（-2）+2=-8+6+2=0；
f（5）=5³-3×5+2=112，
∴f（x）的最大值為112，f（x）的最小值為0；

點評：此題主要考查函數在某點的極值，利用導數研究函數的單調性，以及掌握不等式的解法．這是高考必考的考點；