Question

【題目】已知線段AB的端點B的坐標是（4，2），端點A在圓C：（x+2）2+y2＝16上運動．

（1）求線段AB的中點的軌跡方程H．

（2）判斷（1）中軌跡H與圓C的位置關系．

（3）過點P（3，2）作兩條相互垂直的直線MN，EF，分別交（1）中軌跡H于M，N和E，F，求四邊形MNFE面積的最大值

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．（2）兩圓相交．（3）．

【解析】

(1)設,,中點,根據已知關系,由相關點法即可得出圓的方程;

(2)比較圓心距與兩圓半徑的關系,得出兩圓位置關系;

(3)根據圓的完美性,本題把圓和點同時向左和向下平移一個單位后,就可以把問題轉換為與圓的問題求解.

(1)設A(x0,y0),中點H(x,y),

則,∴,

代入圓C:(x+2)2+y2=16中,

化簡得圓H:(x﹣1)2+(y﹣1)2=4;

(2)兩圓圓心分別為C(﹣2,0),H(1,1),半徑分別為,

∴圓心距d,

∴r1﹣r2<d<r1+r2

∴兩圓相交;

(3)根據圓的完美性,本題把圓和點同時向左和向下平移一個單位后,

就可以把問題轉換為(2,1)與圓x2+y2=4的問題,

為方便,點名均不變,則P(2,1),H(0,0),

記圓心H到直線MN,EF的距離分別為d1,d2,

則,r=2,

,

,

,

,

所以四邊形MNFE的面積為

,

又由可以得|x1x2+y1y2|,

所以,

當且僅當d1=d2時取等號,

即四邊形MNFE的面積最大為.