Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為、，，點在橢圓上，且的周長為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點的坐標為，不過原點的直線與橢圓相交于，兩點，設線段的中點為，點到直線的距離為，且，，三點共線，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據焦距和焦點三角形周長可求得，利用求得，從而可得橢圓的方程；（Ⅱ）當直線斜率不存在時，可判斷出，，三點不共線，不符合題意；所以可假設出直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示出和；由三點共線得到斜率相等關系，從而可求得；利用弦長公式和點到直線距離公式求得和，代入可整理出：，可知當時取最大值.

（Ⅰ）由題意得：，

解得：，

橢圓的方程為

（Ⅱ）設，

當直線與軸垂直時，由橢圓的對稱性可知，點在軸上，且與點不重合

顯然，，三點不共線，不符合題設條件

故可設直線的方程

由，消去整理得：……①

則

， 點的坐標為

，，三點共線

此時方程①為：，則

則，

又

當時，的最大值為