Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足，其中，且
（1）求點C的軌跡方程；（2）設點C的軌跡與雙曲線交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實軸長的取值范圍．

Answer 1

（1）點C的軌跡方程為；（2）雙曲線實軸長的取值范圍是（0，1]．

(1)設C（x，y），根據，用表示x,y，再利用，可得x,y滿足的關系式，即點C的軌跡方程.
(2)點C的軌跡方程與雙曲線方程聯立消去y后得到,
然后把題目條件以MN為直徑的圓過原點，轉化為再坐標化得，即，借助韋達定理可得到和的關系式，從而再借助的取范圍，確定出a的取值范圍，問題得解.
解：設C（x，y），因為，則
即
由，得，即點C的軌跡方程為……4分
（2）由，得
依題意知，設
則
因為以MN為直徑的圓過原點，所以
即，即
得，得……………8分
∵，∴，∴
又，∴，∴，從而
∴雙曲線實軸長的取值范圍是（0，1]．……………12分