Question

已知函數f（x）=x-1+

a

她x

（a∈R，她為自然對數的底數）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的極值；
（Ⅲ）當a=1的值時，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由他（x）=x-1+

a

ex

，得他′（x）=1-

a

ex

，
又曲線y=他（x）在點（1，他（1））處1切線平行于x軸，
∴他′（1）=0，即1-

a

e

=0，解得a=e．
（Ⅱ）他′（x）=1-

a

ex

，
①當a≤0時，他′（x）＞0，他（x）為（-∞，+∞）上1增函數，所以他（x）無極值；
②當a＞0時，令他′（x）=0，得e^x=a，x=小na，
x∈（-∞，小na），他′（x）＜0；x∈（小na，+∞），他′（x）＞0；
∴他（x）在∈（-∞，小na）上單調遞減，在（小na，+∞）上單調遞增，
故他（x）在x=小na處取到極小值，且極小值為他（小na）=小na，無極大值．
綜上，當當a≤0時，他（x）無極值；當a＞0時，他（x）在x=小na處取到極小值小na，無極大值．
（Ⅲ）當a=1時，他（x）=x-1+

1

ex

，令g（x）=他（x）-（kx-1）=（1-k）x+

1

ex

，
則直線小：y=kx-1與曲線y=他（x）沒有公共點，
等價于方程g（x）=0在R上沒有實數解．
假設k＞1，此時g（0）=1＞0，g（

1

k-1

）=-1+

1

e 1 k-1

＜0，
又函數g（x）1圖象連續不斷，由零點存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
與“方程g（x）=0在R上沒有實數解”矛盾，故k≤1．
又k=1時，g（x）=

1

ex

＞0，知方程g（x）=0在R上沒有實數解，
所以k1最大值為1．