Question

【題目】已知：函數f（x）= x2+ax﹣2a2lnx，（a≠0）． （I）求f（x）的單調區間；
（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函數 的定義域為（0，+∞） ∴ = =
∵a＞0，令f′（x）=0，則x=﹣2a（舍去），或x=a
∵當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，∵當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，
∴（0，a）為函數 的單調遞減區間，
（a，+∞）為函數 的單調遞增區間；
（II）由（I）得當x=a時，函數取最小值 a2﹣2a2lna
若f（x）＞0恒成立
則 a2﹣2a2lna= a2（3﹣4lna）＞0
即3﹣4lna＞0
解得a＜
又∵a＞0，
∴a的取值范圍為（0， ）
【解析】（I）先求出函數的定義域，進而根據函數的解析式，求出函數的導函數，分析導函數符號在不同區間上的取值，根據導函數符號與原函數的單調性之間的關系可得結論；（II）若f（x）＞0恒成立，則f（x）的最小值大于0，根據（I）中結論，求出函數的最小值，代入構造關于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．