Question

【題目】已知直線(xiàn)與、軸交于、兩點(diǎn).

（Ⅰ）若點(diǎn)、分別是雙曲線(xiàn)的虛軸、實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)，試在平面上找兩點(diǎn)、，使得雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到、這兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值是定值.

（Ⅱ）若以原點(diǎn)為圓心的圓截直線(xiàn)所得弦長(zhǎng)是，求圓的方程以及這條弦的中點(diǎn).

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ， 或， ．(Ⅱ)圓的方程為，弦的中點(diǎn)為．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由幾何關(guān)系可知， 是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，則， 或， ；

(Ⅱ)利用弦長(zhǎng)公式可求得半徑為3，求得圓的方程為，則弦的中點(diǎn)為．

試題解析：

（Ⅰ）∵直線(xiàn)與軸， 軸交于， 兩點(diǎn)，∴， ，

又、分別是雙曲線(xiàn)的虛軸，實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)，

∴雙曲線(xiàn)中， ， ，

由題可知， 是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，

∴， 或， ．

（Ⅱ）圓心到直線(xiàn)的距離，

∴，

∴圓的方程為，

設(shè)的中點(diǎn)為則：

，解，

即弦的中點(diǎn)為．