Question

已知函數f（x）=lg（ax²+2x+1），命題p：若f（x）的定義域為R，則0≤a≤1；命題q：若f（x）的值域為R，則0≤a≤1．那么（　　）

A．p真q假

B．p假q真

C．“p或q”為假

D．“p且q”為真

Answer 1

分析：在解答命題p時，由于函數f（x）的定義域是R，所以ax²+2x+1＞0對一切x∈R成立．解此恒成立問題即可獲得實數a的取值范圍，再結合二次函數最值的知識易得函數f（x）的值域；對命題q由于函數f（x）的值域是R，所以u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．然后利用二次函數的圖象與性質即可獲得問題的解答．

解答：解：因為f（x）的定義域為R，所以ax²+2x+1＞0對一切x∈R成立．
由此得

a＞0 △=4-4a＜0

解得a＞1．
又因為ax²+2x+1=a（x+

1

a

）²+1-

1

a

＞0，
所以f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-

1

a

），
所以實數a的取值范圍是（1，+∞），
故命題p是假命題．
（2）因為f（x）的值域是R，所以u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．
當a=0時，u=2x+1的值域為R?（0，+∞）；
當a≠0時，u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）等價于

a＞0 4a-4 4a ≤0.

解之得0＜a≤1
所以實數a的取值范圍是[0.1]．
故命題q是真命題．
故選B．

點評：本題考查對數函數的圖象與性質問題．在解答的過程當中充分體現了恒成立的思想、問題轉化的思想以及數形結合的思想．值得同學們體會和反思．