Question

已知函數f（x）=x²-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數列{

1

f(n)

}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₂的值為（　　）

• A．

  2012

  2013

• B．

  2011

  2012

• C．

  2010

  2011

• D．

  2013

  2014

Answer 1

分析：對函數求導，根據導數的幾何意義可求切線在x=1處的斜率，然后根據直線平行時斜率相等的條件可求b，代入可求f（n），利用裂項求和即可求．

解答：解：∵f（x）=x²-bx
∴f′（x）=2x-b
∴y=f（x）的圖象在點A（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2-b
∵切線l與直線x+3y-1=0垂直，∴-b+2=3
∴b=-1，f（x）=x²+x
∴f（n）=n²+n=n（n+1）
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S₂₀₁₂=

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(2012)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

故選A．

點評：本題以函數的導數的幾何意義為載體，主要考查了切線斜率的求解，兩直線平行時的斜率關系的應用，及裂項求和方法的應用．